8.1 핵심 변수와 안정성 모델

핵심 변수 정의

유동성 변수

P(t) = 시간 t에서의 유동성 풀 총 자금 I(t) = 시간 t에서의 자금 유입률 O(t) = 시간 t에서의 자금 유출률 N(t) = 시간 t에서의 활성 참여자 수

공명 차원 매개변수

Dᵢ = 제i차원의 투자 금액 (i=1,2,3,4) Tᵢ = 제i차원의 공명 주기 (1,7,15,30일) Rᵢ = 제i차원의 공명 증폭률 (0.5%,5%,13%,30%)

네트워크 구조 매개변수

Cᵢⱼ = 참여자 i가 참여자 j에 대한 지역 합의 기여도 Wₖ = 제k번째 번영 노드의 가치 가중치 α = 번영 풀 할당 비율 (20%)

시스템 안정성 기초 모델

유동성 균형 방정식

시스템의 기본 안정성은 유동성 균형 방정식으로 설명할 수 있습니다:

dP(t)/dt = I(t) - O(t)

여기서:

I(t) = Σ[i=1 to 4] λᵢ(t) · Dᵢ · Nᵢ(t) (유입률) O(t) = Σ[i=1 to 4] μᵢ(t) · Dᵢ · (1 + Rᵢ) · Nᵢ(t - Tᵢ) (유출률)

안정성 조건

임계 안정성 조건

시스템 안정성을 유지하기 위한 필요 조건은:

P(t) >= Σ[i=1 to 4] Σ[s=t to t+24h] Oᵢ(s)

즉, 유동성 풀 자금이 향후 24시간 내 모든 만료 지불을 커버할 수 있어야 합니다.

장기 안정성 조건

lim[T->∞] (1/T) · ∫[0 to T] [I(t) - O(t)]dt >= 0

참여 규모 하에서의 안정성 분석

소규모 상황에서 시스템은 지수 성장 특성을 보입니다:

N(t) = N₀ · e^(r·t)

여기서 성장률은 주로 지역 합의 메커니즘에 의해 구동됩니다:

r = Σ[i=1 to 5] βᵢ · R_zone,i - δ

βᵢ는 각 지역의 확장 계수, δ는 자연 감소율입니다.

안정성 분석: 소규모에서 시스템은 새로운 사용자 성장에 크게 의존하며, 높은 변동성을 가집니다.

중간 규모 시스템

시스템은 S자형 성장 단계에 진입하여 로지스틱 모델을 따릅니다:

dN/dt = rN(1 - N/K)

여기서 K는 시스템 용량 상한으로, BSC 네트워크 처리 능력과 관련됩니다.

안정성 특징:

• 성장률이 점진적으로 둔화되지만 더 안정적이 됩니다
• 피닉스 재시작 메커니즘이 조절 역할을 시작합니다
• 번영 노드 메커니즘이 추가적인 안정성을 제공합니다

대규모 시스템

시스템은 동적 균형 상태에 진입하여, 참여자 수가 균형점 주위에서 진동합니다:

N(t) = Neq + A · sin(ωt + φ) · e^(-γt)

여기서 Neq는 균형 참여자 수, γ는 감쇠 계수입니다.

안정성 보장: 피닉스 재시작 메커니즘이 대규모에서 시스템의 장기 안정성을 보장합니다.