8.1 Variables Centrales y Modelo de Estabilidad
Definición de Variables Centrales
Variables de Liquidez
P(t) = Fondos totales del pool de liquidez en el tiempo t I(t) = Tasa de flujo de entrada de fondos en el tiempo t O(t) = Tasa de flujo de salida de fondos en el tiempo t N(t) = Número de participantes activos en el tiempo t
Parámetros de Dimensión de Resonancia
Dᵢ = Monto de inversión de la i-ésima dimensión (i=1,2,3,4) Tᵢ = Ciclo de resonancia de la i-ésima dimensión (1,7,15,30 días) Rᵢ = Tasa de amplificación de resonancia de la i-ésima dimensión (0.5%,5%,13%,30%)
Parámetros de Estructura de Red
Cᵢⱼ = Contribución del participante i al consenso regional para el participante j Wₖ = Peso de valor del k-ésimo nodo de prosperidad α = Ratio de asignación del pool de prosperidad (20%)
Modelo Básico de Estabilidad del Sistema
Ecuación de Balance de Liquidez
La estabilidad básica del sistema puede describirse mediante la ecuación de balance de liquidez:
dP(t)/dt = I(t) - O(t)
Donde:
I(t) = Σ[i=1 to 4] λᵢ(t) · Dᵢ · Nᵢ(t) (tasa de entrada) O(t) = Σ[i=1 to 4] μᵢ(t) · Dᵢ · (1 + Rᵢ) · Nᵢ(t - Tᵢ) (tasa de salida)
Condiciones de Estabilidad
Condición de Estabilidad Crítica
La condición necesaria para mantener la estabilidad del sistema es:
P(t) >= Σ[i=1 to 4] Σ[s=t to t+24h] Oᵢ(s)
Es decir, los fondos del pool de liquidez deben poder cubrir todos los pagos vencidos en las próximas 24 horas.
Condición de Estabilidad a Largo Plazo
lim[T->∞] (1/T) · ∫[0 to T] [I(t) - O(t)]dt >= 0
Análisis de Estabilidad Bajo Escala de Participación
En situaciones de pequeña escala, el sistema exhibe características de crecimiento exponencial:
N(t) = N₀ · e^(r·t)
Donde la tasa de crecimiento está impulsada principalmente por el mecanismo de consenso regional:
r = Σ[i=1 to 5] βᵢ · R_zone,i - δ
βᵢ son los coeficientes de expansión para cada región, δ es la tasa de desgaste natural.
Análisis de Estabilidad: A pequeña escala, el sistema depende altamente del crecimiento de nuevos usuarios, con alta volatilidad.
Sistema de Escala Media
El sistema entra en la fase de crecimiento en forma de S, siguiendo el modelo Logístico:
dN/dt = rN(1 - N/K)
Donde K es el límite superior de capacidad del sistema, relacionado con la capacidad de procesamiento de la red BSC.
Características de Estabilidad:
- La tasa de crecimiento se ralentiza gradualmente pero se vuelve más estable
- El mecanismo de reinicio Fénix comienza a desempeñar un papel regulador
- El mecanismo de nodos de prosperidad proporciona estabilidad adicional
Sistema de Gran Escala
El sistema entra en un estado de equilibrio dinámico, donde el número de participantes oscila alrededor del punto de equilibrio:
N(t) = Neq + A · sin(ωt + φ) · e^(-γt)
Donde Neq es el número equilibrado de participantes, γ es el coeficiente de amortiguación.
Garantía de Estabilidad: El mecanismo de reinicio Fénix asegura la estabilidad a largo plazo del sistema a gran escala.