8.1 Variabili Centrali e Modello di Stabilità

Definizione delle Variabili Centrali

Variabili di Liquidità

P(t) = Fondi totali del pool di liquidità al tempo t I(t) = Tasso di afflusso di fondi al tempo t O(t) = Tasso di deflusso di fondi al tempo t N(t) = Numero di partecipanti attivi al tempo t

Parametri di Dimensione di Risonanza

Dᵢ = Importo di investimento della i-esima dimensione (i=1,2,3,4) Tᵢ = Ciclo di risonanza della i-esima dimensione (1,7,15,30 giorni) Rᵢ = Tasso di amplificazione di risonanza della i-esima dimensione (0.5%,5%,13%,30%)

Parametri di Struttura di Rete

Cᵢⱼ = Contributo del partecipante i al consenso regionale per il partecipante j Wₖ = Peso di valore del k-esimo nodo di prosperità α = Rapporto di allocazione del pool di prosperità (20%)

Modello di Stabilità Base del Sistema

Equazione di Equilibrio di Liquidità

La stabilità base del sistema può essere descritta attraverso l'equazione di equilibrio di liquidità:

dP(t)/dt = I(t) - O(t)

Dove:

I(t) = Σ[i=1 to 4] λᵢ(t) · Dᵢ · Nᵢ(t) (tasso di afflusso) O(t) = Σ[i=1 to 4] μᵢ(t) · Dᵢ · (1 + Rᵢ) · Nᵢ(t - Tᵢ) (tasso di deflusso)

Condizioni di Stabilità

Condizione di Stabilità Critica

La condizione necessaria per mantenere la stabilità del sistema è:

P(t) >= Σ[i=1 to 4] Σ[s=t to t+24h] Oᵢ(s)

Ovvero i fondi del pool di liquidità devono essere in grado di coprire tutti i pagamenti in scadenza nelle prossime 24 ore.

Condizione di Stabilità a Lungo Termine

lim[T->∞] (1/T) · ∫[0 to T] [I(t) - O(t)]dt >= 0

Analisi di Stabilità Sotto Scala di Partecipazione

In situazioni di piccola scala, il sistema esibisce caratteristiche di crescita esponenziale:

N(t) = N₀ · e^(r·t)

Dove il tasso di crescita è principalmente guidato dal meccanismo di consenso regionale:

r = Σ[i=1 to 5] βᵢ · R_zone,i - δ

βᵢ sono i coefficienti di espansione per ogni regione, δ è il tasso di attrito naturale.

Analisi di Stabilità: A piccola scala, il sistema è altamente dipendente dalla crescita di nuovi utenti, con alta volatilità.

Sistema di Scala Media

Il sistema entra nella fase di crescita a forma di S, seguendo il modello Logistico:

dN/dt = rN(1 - N/K)

Dove K è il limite superiore della capacità del sistema, correlato alla capacità di elaborazione della rete BSC.

Caratteristiche di Stabilità:

• Il tasso di crescita rallenta gradualmente ma diventa più stabile
• Il meccanismo di riavvio Phoenix inizia a svolgere un ruolo regolatorio
• Il meccanismo dei nodi di prosperità fornisce stabilità aggiuntiva

Sistema di Grande Scala

Il sistema entra in uno stato di equilibrio dinamico, dove il numero di partecipanti oscilla attorno al punto di equilibrio:

N(t) = Neq + A · sin(ωt + φ) · e^(-γt)

Dove Neq è il numero equilibrato di partecipanti, γ è il coefficiente di smorzamento.

Garanzia di Stabilità: Il meccanismo di riavvio Phoenix assicura la stabilità a lungo termine del sistema su grande scala.