8.1 المتغيرات الأساسية ونموذج الاستقرار

تعريف المتغيرات الأساسية

متغيرات السيولة

P(t) = إجمالي أموال مجموعة السيولة في الوقت t I(t) = معدل تدفق الأموال الداخلة في الوقت t O(t) = معدل تدفق الأموال الخارجة في الوقت t N(t) = عدد المشاركين النشطين في الوقت t

معاملات أبعاد الرنين

Dᵢ = مبلغ الاستثمار في البُعد i (i=1,2,3,4) Tᵢ = دورة الرنين في البُعد i (1,7,15,30 يوم) Rᵢ = معدل تضخيم الرنين في البُعد i (0.5%,5%,13%,30%)

معاملات هيكل الشبكة

Cᵢⱼ = مساهمة المشارك i في إجماع المنطقة للمشارك j Wₖ = وزن القيمة للعقدة المزدهرة k α = نسبة توزيع مجموعة الازدهار (20%)

النموذج الأساسي لاستقرار النظام

معادلة توازن السيولة

يمكن وصف الاستقرار الأساسي للنظام من خلال معادلة توازن السيولة:

dP(t)/dt = I(t) - O(t)

حيث:

I(t) = Σ[i=1 to 4] λᵢ(t) · Dᵢ · Nᵢ(t) (معدل التدفق الداخل) O(t) = Σ[i=1 to 4] μᵢ(t) · Dᵢ · (1 + Rᵢ) · Nᵢ(t - Tᵢ) (معدل التدفق الخارج)

شروط الاستقرار

شرط الاستقرار الحرج

الشرط الضروري لحفاظ النظام على الاستقرار هو:

P(t) >= Σ[i=1 to 4] Σ[s=t to t+24h] Oᵢ(s)

أي أن أموال مجموعة السيولة يجب أن تكون قادرة على تغطية جميع المدفوعات المستحقة خلال الـ24 ساعة القادمة.

شرط الاستقرار طويل المدى

lim[T->∞] (1/T) · ∫[0 to T] [I(t) - O(t)]dt >= 0

تحليل الاستقرار تحت حجم المشاركة

في الحالة صغيرة الحجم، يُظهر النظام خصائص النمو الأسي:

N(t) = N₀ · e^(r·t)

حيث يُدفع معدل النمو بشكل أساسي بواسطة آلية إجماع المنطقة:

r = Σ[i=1 to 5] βᵢ · R_zone,i - δ

βᵢ هي معاملات التوسع لكل منطقة، δ هو معدل التسرب الطبيعي.

تحليل الاستقرار: في الحجم الصغير، يعتمد النظام بشدة على نمو المستخدمين الجدد، مع تذبذب كبير.

نظام الحجم المتوسط

يدخل النظام مرحلة النمو على شكل S، مُتبعاً نموذج Logistic:

dN/dt = rN(1 - N/K)

حيث K هو الحد الأعلى لسعة النظام، المرتبط بقدرة معالجة شبكة BSC.

خصائص الاستقرار:

• معدل النمو يتباطأ تدريجياً لكنه يصبح أكثر استقراراً
• آلية إعادة التشغيل الفينيقية تبدأ في لعب دور تنظيمي
• آلية العقد المزدهرة توفر استقراراً إضافياً

النظام كبير الحجم

يدخل النظام حالة التوازن الديناميكي، حيث يتذبذب عدد المشاركين حول نقطة التوازن:

N(t) = Neq + A · sin(ωt + φ) · e^(-γt)

حيث Neq هو عدد المشاركين المتوازن، γ هو معامل التخميد.

ضمان الاستقرار: آلية إعادة التشغيل الفينيقية تضمن الاستقرار طويل المدى للنظام في الحجم الكبير.