8.1 Variables Centrales et Modèle de Stabilité

Définition des Variables Centrales

Variables de Liquidité

P(t) = Fonds totaux du pool de liquidité au temps t I(t) = Taux d'entrée des fonds au temps t O(t) = Taux de sortie des fonds au temps t N(t) = Nombre de participants actifs au temps t

Paramètres de Dimension de Résonance

Dᵢ = Montant d'investissement de la i-ème dimension (i=1,2,3,4) Tᵢ = Cycle de résonance de la i-ème dimension (1,7,15,30 jours) Rᵢ = Taux d'amplification de résonance de la i-ème dimension (0.5%,5%,13%,30%)

Paramètres de Structure de Réseau

Cᵢⱼ = Contribution du participant i au consensus régional pour le participant j Wₖ = Poids de valeur du k-ème nœud de prospérité α = Ratio d'allocation du pool de prospérité (20%)

Modèle de Stabilité de Base du Système

Équation d'Équilibre de Liquidité

La stabilité de base du système peut être décrite par l'équation d'équilibre de liquidité :

dP(t)/dt = I(t) - O(t)

Où :

I(t) = Σ[i=1 to 4] λᵢ(t) · Dᵢ · Nᵢ(t) (taux d'entrée) O(t) = Σ[i=1 to 4] μᵢ(t) · Dᵢ · (1 + Rᵢ) · Nᵢ(t - Tᵢ) (taux de sortie)

Conditions de Stabilité

Condition de Stabilité Critique

La condition nécessaire pour maintenir la stabilité du système est :

P(t) >= Σ[i=1 to 4] Σ[s=t to t+24h] Oᵢ(s)

C'est-à-dire que les fonds du pool de liquidité doivent pouvoir couvrir tous les paiements dus dans les 24 heures suivantes.

Condition de Stabilité à Long Terme

lim[T->∞] (1/T) · ∫[0 to T] [I(t) - O(t)]dt >= 0

Analyse de Stabilité Sous l'Échelle de Participation

Dans les situations de petite échelle, le système présente des caractéristiques de croissance exponentielle :

N(t) = N₀ · e^(r·t)

Où le taux de croissance est principalement alimenté par le mécanisme de consensus régional :

r = Σ[i=1 to 5] βᵢ · R_zone,i - δ

βᵢ sont les coefficients d'expansion pour chaque région, δ est le taux d'attrition naturel.

Analyse de Stabilité : À petite échelle, le système dépend fortement de la croissance de nouveaux utilisateurs, avec une forte volatilité.

Système de Moyenne Échelle

Le système entre dans la phase de croissance en forme de S, suivant le modèle Logistique :

dN/dt = rN(1 - N/K)

Où K est la limite supérieure de capacité du système, liée à la capacité de traitement du réseau BSC.

Caractéristiques de Stabilité :

• Le taux de croissance ralentit progressivement mais devient plus stable
• Le mécanisme de redémarrage Phoenix commence à jouer un rôle régulateur
• Le mécanisme de nœuds de prospérité fournit une stabilité supplémentaire

Système de Grande Échelle

Le système entre dans un état d'équilibre dynamique, où le nombre de participants oscille autour du point d'équilibre :

N(t) = Neq + A · sin(ωt + φ) · e^(-γt)

Où Neq est le nombre équilibré de participants, γ est le coefficient d'amortissement.

Garantie de Stabilité : Le mécanisme de redémarrage Phoenix assure la stabilité à long terme du système à grande échelle.